13日の金曜日は毎年1回以上やってくることの数学的証明

13日の金曜日は極めて稀な組み合わせだと思っている人は多い。

わりと普通な13日の金曜日

不吉だとされる「13日の金曜日」は、稀にしかやってこないと思っている人、いませんか?少なくとも毎年1回、多い年では3回もやってくる、普通の日なのです。

まずは、ざっと概算してみましょう。

13日は1年間に12回あります。
金曜日は7日に1回やってきます。

もし、曜日がランダムに並んでいるなら、12回の「13日」を7つの曜日に平均的に分配することで、金曜日の数が推定できます。

 12 ÷ 7 ≒ 1.7

つまり、平均すると、毎年1.7回くらい「13日の金曜日」はあるだろうと、推測できます。

13日の金曜日を怖がっている小学生への説明は、これでOK。

「曜日はランダムじゃない」

と、こざかしい小学生につっこまれたら、

「曜日はランダムに並んでいるわけではないけど、12と7は互いに素なので、短周期の循環パターンにならないのだよ」

とケムに巻きましょう。

数学的証明(中学生以上)

まず、1年の日に番号を付けます。あとの説明が分かりやすいように、1月13日を0番とし、14日を1番、15日を2番、…と付けていきます。月をまたいでも、ひたすら連番を付けていきます。

すると、毎月の13日は次のような番号が付けられることになります。前月13日の番号に、前月の日数(28日とか30日とか31日とか)を加えるだけなので、計算は簡単です。

  • 番号:日付
  •   0:  1月13日
  •  31:  2月13日
  •  59:  3月13日
  •  90:  4月13日
  • 120:  5月13日
  • 151:  6月13日
  • 181:  7月13日
  • 212:  8月13日
  • 243:  9月13日
  • 273: 10月13日
  • 304: 11月13日
  • 334: 12月13日

つぎに、番号を7で割った余りを求めます。

  • 余り:日付
  • 0:  1月13日
  • 3:  2月13日
  • 3:  3月13日
  • 6:  4月13日
  • 1:  5月13日
  • 4:  6月13日
  • 6:  7月13日
  • 2:  8月13日
  • 5:  9月13日
  • 0: 10月13日
  • 3: 11月13日
  • 5: 12月13日

この余りは、番号が7増えるごとに循環するので、曜日を区別する数字として使えるわけです。

たとえば、1月13日が金曜日なら、同じ余りを持つ、10月13日も金曜日だということです。

で、この数字を眺めてみると、0から6までのすべての数字が現れていることがわかります。つまり、すべての曜日が、○月13日のどれかに現れるということです。

これで、13日の金曜日は毎年、少なくとも1回やってくることが証明されました。

あとちょっとだけ

余りの数字を眺めてみると、1つしかないもの(1, 2, 4)から3つあるもの(3)までありますね。

つまり、13日の金曜日は、どんなに多くても1年に3回までしかありません。そして、その当たり年には、2月、3月、11月にやってくるということが分かります。

ちなみに、うるう年では、3月以降の番号を1ずつ増やして、同じことをやってみると、やはり、少なくとも1回、多くても3回(1月、4月、7月)であることが分かるのです。

さて、あさっての10月13日は金曜日。ということは、上の表で余りが同じ0であった、1月13日も金曜日だったはずです。ほら、意外と普通でしょ。

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